34 UEPG 2018 VERÃO – Considerando os pontos A(1, 2), B(1,2)

34 UEPG 2018 VERÃO:

34 UEPG 2018 VERÃO) Considerando os pontos A(1, 2), B(-1,-2) e C(-3,-6), assinale o que for correto.

01) Os pontos A, B e C representam os vértices de um triângulo.

02) A distância do ponto A ao ponto C é menor que 9.

04) A circunferência com centro no ponto A e que passa pelo ponto B, tem raio medindo 20.

08) A reta de equação 2x – y = 8 passa pelo ponto D(3, -2) e é paralela à reta definida pelos pontos A e C.

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo plano cartesiano e geometria plana.

Primeiramente vamos desenhar o plano cartesiano com os três pontos do enunciado:

Vamos para as sentenças.

01) Os pontos A, B e C representam os vértices de um triângulo.

Para sabermos se são vértices de um triângulo podemos calcular através do determinante da matriz com os três pontos. Se ele for igual a zero é porque estão alinhados, se for diferente de zero é um triângulo.

D=\left| \begin{array}{rcr}
1 & 2  & 1 \\ 
 -1 & -2 & 1\\
 -3 & -6  & 1
\end{array} \right|\\
\ \\
D=(-2-6+6)-(6-6-2)\\
\ \\
D=0

Como o determinante vale zero, eles estão alinhados. Logo não forma um triângulo.

Sendo assim a 01 está incorreta.

02) A distância do ponto A ao ponto C é menor que 9.

Para calcular a distância entre os pontos basta calcularmos a hipotenusa da distância entre os valores de x e y.

Distância em x: 3+1=4.

Distância em y: 6+2=8.

Sendo assim:

h=\sqrt{8^2+4^2}\\
\ \\
h=\sqrt{80}\\
 \ \\
Como\ \sqrt{81}=9\\
 \ \\
Podemo\ dizer\ que\ \sqrt{80} \ é\ menor\ que \ 9.

Sendo assim a 02 está correta.

04) A circunferência com centro no ponto A e que passa pelo ponto B, tem raio medindo 20.

Se a distância entre A e C é menor que 9, que são os dois pontos mais distantes, como uma circunferência com centro em A que passa pelo ponto B vai ter um raio maior que 9? Sendo que o ponto B está entre A e C.

Logo, não é necessário fazer a conta.

Sendo assim a 04 está incorreta.

08) A reta de equação 2x – y = 8 passa pelo ponto D(3, -2) e é paralela à reta definida pelos pontos A e C.

Primeiramente vamos verificar se realmente passa por D, substituindo os valor de x e y na equação:

2*3-(-2)=8\\
 \ \\
8=8

Logo, os pontos batem. Agora vamos verificar se são paralelas. Para isso, sabemos que o coeficiente angular da reta é 2. O coeficiente angular da reta paralela deve ser igual.

Para calcular o valor do coeficiente fazemos da seguinte forma:

\alpha=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{-6-2}{-3-1}=2

Como o valor também é 2, então é paralela.

Sendo assim a 08 está correta.

Portanto o gabarito é: 02+08=10.

GABARITO 34 UEPG 2018 VERÃO: 10.

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