33 UEPG 2018 VERÃO – Num triângulo obtusângulo ABC

33 UEPG 2018 VERÃO:

33 UEPG 2018 VERÃO) Num triângulo obtusângulo ABC, as medidas dos ângulos 𝐵𝐴𝐶 = 120° e 𝐴𝐶𝐵 = 30° e o lado 𝐴𝐶 = 2. Considerando que 𝑎 = BC, 𝑐 = AB assinale o que for correto.

01) O valor de 𝑎 + 𝑐 é um número irracional.

02) O período da função 𝑓(𝑥) = 𝑐. cos(𝑥) é 2π.

04) A função 𝑓(𝑥) = 𝑐. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) tem sua imagem contida no intervalo [-1,1].

08) O valor de 𝑎. 𝑐 é um número racional.

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo trigonometria, funções trigonométricas, triângulos e conjuntos.

Primeiramente vamos desenhar o triângulo obtusângulo:

Com os dados do enunciado montamos o triângulo. Sabemos que a soma dos ângulos de um triângulo é 180, sendo assim conseguimos calcular o valor de a:

a+120+30=180\\
\ \\
a=180-150\\
\ \\
a=30

Logo, temos que:

Como os dois ângulos são iguais, podemos dizer que é um triângulo isóceles, que no caso terá os lados AB = AC = 2.

Logo, como 𝑐 = AB, temos que:

𝑐 = AB=2\\
\ \\
c=2

Para encontrar o valor de 𝑎 = BC podemos utilizar lei dos senos:

\frac{𝑎}{sen(120º)}=\frac{2}{sen(30º)}\\ 
\ \\
𝑎=\frac{2}{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\ \\
𝑎=2\sqrt{3}

Tendo os valores de a e c podemos ir para as sentenças.

01) O valor de 𝑎 + 𝑐 é um número irracional.

Somando 𝑎 + 𝑐 temos:

 𝑎 + 𝑐=2\sqrt{3}+2

Como tem uma raiz de 3, que não possui raiz exata, obviamente é um número irracional.

Sendo assim a 01 está correta.

02) O período da função 𝑓(𝑥) = 𝑐. cos(𝑥) é 2π.

Como não temos deslocamento de fase e nem outra coisa dentro do argumento da função cosseno, não teremos alteração no período da função, que é 2π.

Sendo assim a 02 está correta.

04) A função 𝑓(𝑥) = 𝑐. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) tem sua imagem contida no intervalo [-1,1].

Substituindo o valor de c na função:

f(x)=2sen(x)

Sendo assim, como a amplitude da função é 2, sua imagem será [-2,2].

Sendo assim a 04 está incorreta.

08) O valor de 𝑎. 𝑐 é um número racional.

Fazendo o produto entre os valores:

a.c=(2\sqrt{3})*(2)

Como temos um produto com raiz de 3 podemos dizer que é um número irracional pelo fato de que raiz de 3 não possui raiz exata.

Sendo assim a 08 está incorreta.

Portanto o gabarito é: 01+02=03.

GABARITO 33 UEPG 2018 VERÃO: 3.

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