35 UEPG 2018 VERÃO – Sabendo que z1 = 1 + 3i e z2 = 3 − 9i, assinale

35 UEPG 2018 VERÃO:

35 UEPG 2018 VERÃO) Sabendo que z₁ = 1 + 3i e z₂ = 3 − 9i, assinale o que for correto.

01) O valor de

é um número múltiplo de 3.

02) A parte imaginária de 𝑧1 + 𝑧2 é um número primo.

04) Se o número complexo 𝑧1 = (𝑥 + 𝑦) + (𝑥 − 𝑦)𝑖, então x + y é um divisor de 9.

08) A parte real do número 𝑧1/𝑧2 é 4/15.

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo números complexos, matrizes e álgebra.

Vamos para as sentenças.

01) O valor de

é um número múltiplo de 3.

Vamos calcular então o determinante:

A=\left| \begin{array}{rcr}
z_1 & i^2 \\ 
 -3 & z_2 \\
\end{array} \right|=z_1*z_2+3*i^2\\
 \ \\
Substitundo\ os\ valores\ de\ z_1\ e\ z_2,\ além\ de\ que\ i^2=-1,\ temos:\\
\ \\
A=(1+3i)(3-9i)-3\\
\ \\
A=3-9i+9i-27i^2-3\\ \
\\
A=27

27 é um número múltiplo de 3.

Sendo assim a 01 está correta.

02) A parte imaginária de 𝑧1 + 𝑧2 é um número primo.

Encontrando a parte imaginária da soma:

z_1+z_2=(1+3i)+(3-9i)=4-6i

6 não é um número primo.

Sendo assim a 02 está incorreta.

04) Se o número complexo 𝑧1 = (𝑥 + 𝑦) + (𝑥 − 𝑦)𝑖, então x + y é um divisor de 9.

Temos que z₁ = (1+3i), logo:

x+y=1\\
\ \\
x-y=3

Temos que x+y = 1. E o 1 divide todos os números, logo é divisor de 9.

Sendo assim a 04 está correta.

08) A parte real do número 𝑧1/𝑧2 é 4/15.

Vamos fazer o cálculo:

\frac{z_1}{z_2}=\frac{1+3i}{3-9i}\\
\ \\
Multiplicando\ pelo\ conjugado\ para\ resolver:\\
\ \\
\frac{1+3i}{3-9i}*\frac{3-9i}{3-9i}=\frac{-24+18i}{90}

Como já vemos, é um número negativo. Como nosso valor é positivo:

Sendo assim a 08 está incorreta.

Portanto o gabarito é: 01+04=5.

GABARITO 35 UEPG 2018 VERÃO: 5.

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