35 UEPG 2018 VERÃO:
35 UEPG 2018 VERÃO) Sabendo que z1 = 1 + 3i e z2 = 3 − 9i, assinale o que for correto.
01) O valor de
é um número múltiplo de 3.
02) A parte imaginária de 𝑧1 + 𝑧2 é um número primo.
04) Se o número complexo 𝑧1 = (𝑥 + 𝑦) + (𝑥 − 𝑦)𝑖, então x + y é um divisor de 9.
08) A parte real do número 𝑧1/𝑧2 é 4/15.
Confira abaixo a resolução completa:
Solução comentada:
Temos claramente um exercício envolvendo números complexos, matrizes e álgebra.
Vamos para as sentenças.
01) O valor de
é um número múltiplo de 3.
Vamos calcular então o determinante:
A=∣∣z1−3i2z2∣∣=z1∗z2+3∗i2 Substitundo os valores de z1 e z2, aleˊm de que i2=−1, temos: A=(1+3i)(3−9i)−3 A=3−9i+9i−27i2−3 A=27
27 é um número múltiplo de 3.
Sendo assim a 01 está correta.
02) A parte imaginária de 𝑧1 + 𝑧2 é um número primo.
Encontrando a parte imaginária da soma:
z1+z2=(1+3i)+(3−9i)=4−6i
6 não é um número primo.
Sendo assim a 02 está incorreta.
04) Se o número complexo 𝑧1 = (𝑥 + 𝑦) + (𝑥 − 𝑦)𝑖, então x + y é um divisor de 9.
Temos que z1 = (1+3i), logo:
x+y=1 x−y=3
Temos que x+y = 1. E o 1 divide todos os números, logo é divisor de 9.
Sendo assim a 04 está correta.
08) A parte real do número 𝑧1/𝑧2 é 4/15.
Vamos fazer o cálculo:
z2z1=3−9i1+3i Multiplicando pelo conjugado para resolver: 3−9i1+3i∗3−9i3−9i=90−24+18i
Como já vemos, é um número negativo. Como nosso valor é positivo:
Sendo assim a 08 está incorreta.
Portanto o gabarito é: 01+04=5.
GABARITO 35 UEPG 2018 VERÃO: 5.
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