4 UNICENTRO 2020 – A soma e o produto das raízes do polinômio expresso

4 UNICENTRO 2020 :

4 UNICENTRO 2020) A soma e o produto das raízes do polinômio expresso por p(x) = (x³ + 2x² – 3x – 2)⁴, considerando-se suas multiplicidades, são, respectivamente,

A) 16 e − 8.

B) 16 e 8.

C) 8 e − 16

D) − 8 e 16.

E) 8 e 16.

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo polinômios e Relações de Gillard.

O comando do exercício é: A soma e o produto das raízes do polinômio.

Logo, podemos fazer isso através de relações de Gillard, para isso vamos primeiro abrir o polinômio:

P(x)=(x^3+2x^2-3x-2)^4=((x^3+2x^2-3x-2)^2)^2=\\
 \ \\
=(x^6+2x^5-3x^4-2x^3+2x^5+4x^4-6x^3-4x^2-3x^4-6x^3+9x^2+6x-2x^3-4x^2=6x+4)^2\\
\ \\
=(x^6+4x^5-2x^4-16x^3+x^2+12x+4)^2

Posse desse polinômio, primeira coisa que podemos identificar facilmente é que o o elemento a será igual a 1. Uma vez que o a é o coeficiente de maior grau, será o coeficiente de x⁶*x⁶, que no caso é 1. Logo a=1.

Se a vale 1, já nos ajuda com muita coisa.

Por relações de Gillard temos que a soma das raízes será dada por:

S=\frac{-b}{a}\\

Como b é o coeficiente do elemento de segundo maior grau podemos identificar que será dado por:

x^6*4x^5+4x^5*x^6=8x^{11}

Logo, b=8, sendo assim:

S=\frac{-b}{a}\\
\ \\
S=\frac{-8}{1}=-8\\

Como a soma é -8 e a única alternativa que nos trás esse valor é a D, esta é a correta.

GABARITO 4 UNICENTRO 2020 : D.

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