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34 UEPG 2019 INVERNO – Considerando, no plano cartesiano, os pontos

- by ensinodepotencia

34 UEPG 2019 INVERNO:

34 UEPG 2019 INVERNO) Considerando, no plano cartesiano, os pontos A(0,0), B(3,0), C(8,0), D(5,2), E(3,5) e F(0,5), assinale o que for correto.

01) A área do polígono ABDEF é 22 u.a.

02) A circunferência de equação 4x² + 4y² – 20x – 8y – 7 = 0, tem centro no ponto médio de AD e raio 3.

04) A circunferência de equação x² + y² – 4x = 0, tem centro no ponto médio de AC e raio 4.

08) A área do polígono ABCDEF é 25 u.a.

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo geometria, áreas e plano cartesiano.

Primeira coisa que precisamos fazer é desenhar os pontos no plano cartesiano.

Vamos agora resolver as nossas 4 sentenças.

01) A área do polígono ABDEF é 22 u.a.

O polígono ABDEF é basicamente formado pela soma das áreas A1 e A2.

Logo, vamos calcular cada uma das áreas e depois somá-las:

Área 1 é a área de um retângulo, logo:

A1=3∗5=15A_1=3*5=15

Área 2 é a área de um triângulo, logo:

A2=2∗52=5A_2=\frac{2*5}{2}=5

Agora a área ABDEF será:

AABDEF=A1+A2=15+5=20A_{ABDEF}=A_1+A_2=15+5=20

Logo, a área vale 20 e não 22.

Sendo assim a 01 está incorreta.

02) A circunferência de equação 4x² + 4y² – 20x – 8y – 7 = 0, tem centro no ponto médio de AD e raio 3.

Para solucionar esta sentença primeiro vamos descobrir se o raio realmente é 3, para isso vamos escrever a equação pelo termo geral:

4x2−20x+4y2−8y=7 4(x2−5x)+4(y2−2y)=7 4(x−52)2−4(−52)2+4(y−1)2−4(−1)2=7 4(x−52)2−25+4(y−1)2−4=7 4(x−52)2+4(y−1)2=36 (x−52)2+(y−1)2=364 (x−52)2+(y−1)2=9 4x^2-20x+4y^2-8y=7\\ \ \\ 4(x^2-5x)+4(y^2-2y)=7\\ \ \\ 4(x-\frac{5}{2})^2-4(-\frac{5}{2})^2+4(y-1)^2-4(-1)^2=7\\ \ \\ 4(x-\frac{5}{2})^2-25+4(y-1)^2-4=7\\ \ \\ 4(x-\frac{5}{2})^2+4(y-1)^2=36\\ \ \\ (x-\frac{5}{2})^2+(y-1)^2=\frac{36}{4}\\ \ \\ (x-\frac{5}{2})^2+(y-1)^2=9\\ \ \\

Logo como a equação é igual a r², temos que:

r2=9 r=9=3r^2=9\\ \ \\ r=\sqrt{9}=3

Sendo assim o raio realmente vale 3.

Logo, vamos precisar descobrir o ponto médio de AD para verificar se realmente é o centro da circunferência.

Em x:

xc=5−02=52x_c=\frac{5-0}{2}=\frac{5}{2}

Em y:

yc=2−02=1y_c=\frac{2-0}{2}=1

Logo, como o centro realmente são os pontos centrais do segmento AD, então está correto.

Sendo assim a 02 está correta.

04) A circunferência de equação x² + y² – 4x = 0, tem centro no ponto médio de AC e raio 4.

Primeiro vamos verificar se o raio é 4:

x2−4x+y2=0 (x−2)2−4+y2=0 (x−2)2+y2=4 r2=4 r=4=2x^2-4x+y^2=0\\ \ \\ (x-2)^2-4+y^2=0\\ \ \\ (x-2)^2+y^2=4\\ \ \\ r^2=4\\ \ \\ r=\sqrt{4}=2

Logo o raio vale 2, e não 4.

Sendo assim a 04 está incorreta.

08) A área do polígono ABCDEF é 25 u.a.

A área do polígono ABCDEF será A1+A2+A3. Como sabemos as duas primeiras, basta calcular a terceira. Como é a área de um triângulo:

A3=5∗22=5A_3=\frac{5*2}{2}=5

Sendo assim a área será:

AABCDEF=A1+A2+A3=15+5+5=25A_{ABCDEF}=A_1+A_2+A_3=15+5+5=25

Logo a área realmente vale 25.

Sendo assim a 08 está correta.

Portanto o gabarito será: 02+08=10.

GABARITO 34 UEPG 2019 INVERNO: 10.

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