33 UEPG 2019 INVERNO – As quantias, em reais, de seis pessoas

33 UEPG 2019 INVERNO:

33 UEPG 2019 INVERNO) As quantias, em reais, de seis pessoas estão em progressão aritmética. Considerando que a terceira pessoa tem R$ 460,00 e a sexta pessoa tem R$ 700,00, assinale o que for correto.

01) A primeira e a segunda juntas têm menos do que a sexta pessoa.

02) A média aritmética entre as quantias da primeira e da sexta pessoa é menor do que R$ 450,00.

04) A quarta e a quinta juntas têm mais do que R$ 1.100,00.

08) A soma das quantias das seis pessoas é R$ 2.500,00.

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo progressão aritmética.

Para conseguir solucionar as alternativas, vamos primeiro precisar descobrir a razão da PA e o primeiro termo.

Temos que uma PA é dada por:

a_n=a_1+(n-1)r

Temos as seguintes informações do exercício:

• Terceira pessoa tem R$ 460,00;
• Sexta tem R$ 700,00.

Sendo assim, podemos equacionar o terceiro termo e o sexto termo:

460=a_1+(3-1)r\\
\ \\
460=a_1+2r

700=a_1+(6-1)r\\
\ \\
700=a_1+5r

Utilizando estas duas equações podemos montar um sistema de equações:

\begin{cases}
a_1+2r=460 \\
a_1+5r=700 \\
\end{cases}\\
\ \\
podemos\ subtrair\ a\ segunda\ pela\ primeira:\\
\ \\
(a_1+5r)-(a_1+2r)=700-460\\
\ \\
3r=240\\
\ \\
r=\frac{240}{3}\\
\ \\
r=80

Podemos encontrar agora quem é a1:

a_1=460-2*80\\
\ \\
a_1=300

Temos então a equação geral da PA:

a_n=300+(n-1)80

Vamos para as alternativas então.

01) A primeira e a segunda juntas têm menos do que a sexta pessoa.

Sabemos que a sexta pessoa tem R$ 700, a primeira R$ 300, agora sabemos que a segunda é dado pela PA:

a_2=300+(2-1)80=380

Somando a primeira e a segunda, para verificar se é menor que 700:

300+380=680

Realmente é menor que 700.

Logo a 01 está correta.

02) A média aritmética entre as quantias da primeira e da sexta pessoa é menor do que R$ 450,00.

Basta fazer o cálculo:

\frac{300+700}{2}=500

Na verdade é maior que 450.

Logo a 02 está incorreta.

04) A quarta e a quinta juntas têm mais do que R$ 1.100,00.

Vamos calcular cada uma e depois somar:

a_4=300+(4-1)80=540

a_5=300+(5-1)80=620

Somando as duas:

540+620=1160

Logo realmente é mais que 1160.

Logo a 04 está correta.

08) A soma das quantias das seis pessoas é R$ 2.500,00.

Basta utilizar o termo da soma de n termos de uma PA:

S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\\
\ \\
S_6=\frac{(300+700)6}{2}\\
\ \\
S_6=3000

Portanto não é 2500.

Logo a 08 está incorreta.

Sendo assim o gabarito é: 01+04=5.

GABARITO 33 UEPG 2019 INVERNO: 5.

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