MATEMÁTICA / PA - PROGRESSÃO ARITMÉTICA / UEPG 2019 INVERNO

33 UEPG 2019 INVERNO – As quantias, em reais, de seis pessoas

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33 UEPG 2019 INVERNO:

33 UEPG 2019 INVERNO) As quantias, em reais, de seis pessoas estão em progressão aritmética. Considerando que a terceira pessoa tem R$ 460,00 e a sexta pessoa tem R$ 700,00, assinale o que for correto.

01) A primeira e a segunda juntas têm menos do que a sexta pessoa.

02) A média aritmética entre as quantias da primeira e da sexta pessoa é menor do que R$ 450,00.

04) A quarta e a quinta juntas têm mais do que R$ 1.100,00.

08) A soma das quantias das seis pessoas é R$ 2.500,00.

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo progressão aritmética.

Para conseguir solucionar as alternativas, vamos primeiro precisar descobrir a razão da PA e o primeiro termo.

Temos que uma PA é dada por:

an=a1+(n−1)ra_n=a_1+(n-1)r

Temos as seguintes informações do exercício:

  • Terceira pessoa tem R$ 460,00;
  • Sexta tem R$ 700,00.

Sendo assim, podemos equacionar o terceiro termo e o sexto termo:

460=a1+(3−1)r 460=a1+2r460=a_1+(3-1)r\\ \ \\ 460=a_1+2r
700=a1+(6−1)r 700=a1+5r700=a_1+(6-1)r\\ \ \\ 700=a_1+5r

Utilizando estas duas equações podemos montar um sistema de equações:

{a1+2r=460a1+5r=700 podemos subtrair a segunda pela primeira: (a1+5r)−(a1+2r)=700−460 3r=240 r=2403 r=80\begin{cases} a_1+2r=460 \\ a_1+5r=700 \\ \end{cases}\\ \ \\ podemos\ subtrair\ a\ segunda\ pela\ primeira:\\ \ \\ (a_1+5r)-(a_1+2r)=700-460\\ \ \\ 3r=240\\ \ \\ r=\frac{240}{3}\\ \ \\ r=80

Podemos encontrar agora quem é a1:

a1=460−2∗80 a1=300a_1=460-2*80\\ \ \\ a_1=300

Temos então a equação geral da PA:

an=300+(n−1)80a_n=300+(n-1)80

Vamos para as alternativas então.

01) A primeira e a segunda juntas têm menos do que a sexta pessoa.

Sabemos que a sexta pessoa tem R$ 700, a primeira R$ 300, agora sabemos que a segunda é dado pela PA:

a2=300+(2−1)80=380a_2=300+(2-1)80=380

Somando a primeira e a segunda, para verificar se é menor que 700:

300+380=680300+380=680

Realmente é menor que 700.

Logo a 01 está correta.

02) A média aritmética entre as quantias da primeira e da sexta pessoa é menor do que R$ 450,00.

Basta fazer o cálculo:

300+7002=500\frac{300+700}{2}=500

Na verdade é maior que 450.

Logo a 02 está incorreta.

04) A quarta e a quinta juntas têm mais do que R$ 1.100,00.

Vamos calcular cada uma e depois somar:

a4=300+(4−1)80=540a_4=300+(4-1)80=540
a5=300+(5−1)80=620a_5=300+(5-1)80=620

Somando as duas:

540+620=1160540+620=1160

Logo realmente é mais que 1160.

Logo a 04 está correta.

08) A soma das quantias das seis pessoas é R$ 2.500,00.

Basta utilizar o termo da soma de n termos de uma PA:

Sn=(a1+an)n2 S6=(300+700)62 S6=3000S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\\ \ \\ S_6=\frac{(300+700)6}{2}\\ \ \\ S_6=3000

Portanto não é 2500.

Logo a 08 está incorreta.

Sendo assim o gabarito é: 01+04=5.

GABARITO 33 UEPG 2019 INVERNO: 5.

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