32 UEPG 2019 VERÃO – Sabendo que “a” representa a solução da equação

32 UEPG 2019 VERÃO:

32 UEPG 2019 VERÃO) Sabendo que “a” representa a solução da equação

, assinale o que for correto.

01) Se f(x) = ax + 2 e g(x) = x² então f(g(x)) = 0 não admite raízes reais.

02) A solução da equação log6(x² − x) = 1 é S = {-2, a}.

04) A solução da equação exponencial 5^x =1/125 é S = {-a}.

08) A soma dos coeficientes dos termos do binômio (x + a)^4 é 16.

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo funções de primeiro e segundo grau, logaritmo e equações exponenciais.

Para resolver as sentenças primeiro precisamos encontrar o valor de a.

Podemos encontrar a através do determinante da matriz igual ao logaritmo.

Para solucionar primeira coisa que precisamos saber é:

log_24=2

Sendo assim, temos:

8-2=6.

Logo o determinante da matriz será igual a 6.

Sendo assim vamos solucionar, calculando o determinante e igualando a 6:

-8-3x-x-(-6x-2-2x)=6\\
\ \\
4x=12\\
\ \\
x=3\\
\ \\
Logo:\\
\ \\
a=3

Sabendo que a vale 12 vamos para as sentenças.

01) Se f(x) = ax + 2 e g(x) = x² então f(g(x)) = 0 não admite raízes reais.

Primeiramente, f(x) é, com o valor de a:

f(x)=3x+2

Substituindo g(x) composto dentro da f(x):

f(g(x))=f(x²)=3x²+2

Para encontrar as raízes igualamos a zero:

3x^2+2=0\\
\ \\
3x^2=-2\\
\ \\
x=\sqrt{\frac{-2}{3}}

Como não existe raiz quadrada de número negativo, não temos raízes reais.

Logo a 01 está correta.

02) A solução da equação log6(x² − x) = 1 é S = {-2, a}.

Vamos solucionar a equação. Por propriedades de logaritmos temos que:

x^2-x=6^1\\
\ \\
x^2-x-6=0\\
\ \\
Por\ bhaskara:\\
\ \\
x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4*1*(-6)}}{2*1}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm5}{2}\\
\ \\
x'=3\\
x''=-2

Logo, realmente a solução é S={-2,a}, que no caso é S={-2,3}.

Logo a 02 está correta.

04) A solução da equação exponencial 5^x =1/125 é S = {-a}.

Vamos solucionar esta equação exponencial:

5^x=\frac{1}{125}\\
\ \\
5^x=\frac{1}{5^3}\\
\ \\
5^x=5^{-3}\\
\ \\
x=-3

Como a solução é -3, e -3 é -a, está correto.

Logo a 04 está correta.

Logo a 04 está correta.

08) A soma dos coeficientes dos termos do binômio (x + a)^4 é 16.

Substituindo a na expressão, temos que:

(x+3)^4

Para sabermos a soma dos coeficientes, basta sabermos que o coeficiente de x é 1, e somar (1+3)^4. Sendo assim:

(1+3)^4=4^4=16*16

Logo, não é 16, e sim 16².

Logo a 08 está incorreta.

O gabarito da questão é então: 1+2+4=7.

GABARITO 32 UEPG 2019 VERÃO: 7.

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