33 UEPG 2019 VERÃO:
33 UEPG 2019 VERÃO) Sendo a e b raízes naturais do polinômio P(x) = x^4 + 2x^3 – 9x² – 2x + 8, onde a < b. Considerando que o triângulo retângulo BAC, reto em A, tem AB = a + 2, AC = b + 2 e AĈB = α , assinale o que for correto.
01) secα =4/5.
02) senα + cosα = 7/5.
04) A hipotenusa BC = 5.
08) tgα =4/3.
Solução comentada:
Temos claramente um exercício envolvendo funções, triângulos e funções trigonométricas
Observando as alternativas, vamos precisar do valor de α. Sabemos que α é igual ao ângulo C do triângulo ACB. Onde precisamos dos valores de a e b para identificar os lados do triângulo.
Sendo assim a primeira coisa que devemos fazer é identificar quem é a e b.
O nosso polinômio de grau 4 é:
Sabemos que: a e b raízes naturais do polinômio, onde a < b.
Logo, vamos ter duas raízes naturais neste polinômio. A menor será a e a maior será b.
Como identificar a raiz desse polinômio?
DICA: sempre que temos um polinômio de grau 4 ou 3 em uma prova de vestibular, uma das raízes na maioria das vezes será -1 ou 1.
Sendo assim vamos testar x=1:
Logo x=1 é raíz do polinômio. Como é um número natural já sabemos que será uma das raízes naturais que estamos buscando.
Vamos testar agora x=-1:
Sendo assim x=-1 também é raíz do polinômio. Porém como não é natural, não será um valor de a e b.
Logo, precisamos encontrar outra nariz natural ainda.
Podemos dividir o polinômio P(x) pelos binômios de x=1 e x=-1, assim vamos encontrar um polinômio de grau 2 que vai nos dar as duas raízes restantes.
Sendo assim vamos ter a seguinte divisão:
Essa divisão pode ser feita por briot-ruffini ou método de chaves. Para a resolução não ficar muito longa, uma vez que falta muita coisa, vamos lhe dar o resultado final da divisão:
Logo, com esse polinômio agora podemos aplicar bháskara para encontrar as duas raízes que faltam para encontramos a e b.
Sendo assim, encontrando as raízes através de bháskara:
Sendo assim, como queremos as raízes naturais, a raiz que nos interessa é x=2.
Logo, nossas duas raízes naturais são:
- x=1;
- x=2.
Como sabemos que a<b, podemos afirmar que:
- a=1;
- b=2.
Logo, podemos identificar os lados do triângulo para dar sequência a resolução:
Como fazer?
Temos as seguintes informações: AB = a + 2, AC = b + 2 e AĈB = α. E também que é um triângulo retângulo em A.
Encontrando os lados:
Desenhando nosso triângulo ABC:

Como uma das alternativas quer saber o valor da hipotenusa, já vamos calculá-la. Assim também conseguimos encontrar o valor do ângulo α.
Sabendo o valor da hipotenusa, podemos perceber que não vamos conseguir calcular o valor de α sem o auxílio de uma calculadora. Mas também nem será necessário. Vamos as alternativas.
01) secα =4/5.
Sabemos que secante é a inversa do cosseno, logo:
Sabemos que cos α é:
Logo:
Sendo assim a 01 está incorreta.
02) senα + cosα = 7/5.
Sabemos já o cos α, agora encontrando o sen α:
Logo, realizando a soma:
Sendo assim a 02 está correta.
04) A hipotenusa BC = 5.
Como calculamos anteriormente, a hipotenusa h=BC=5.
Sendo assim a 04 está correta.
08) tgα =4/3.
Encontrando a tangente:
Sendo assim a 08 está correta.
Logo o gabarito será: 02+04=06.
GABARITO 33 UEPG 2019 VERÃO: 6.
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