32 UEPG 2021 – Numa partida de futebol, uma bola, ao ser chutada

32 UEPG 2021:

32 UEPG 2021) Numa partida de futebol, uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, teve sua trajetória descrita pela equação 𝑓(𝑡) = −𝑡²/2+ 10𝑡, na qual t é o tempo medido em segundos e f(t) é a altura em metros da bola no instante t. Considerando m o instante em que a bola retornará ao solo e n a altura máxima atingida pela bola, assinale o que for correto.

01) m + n é um número múltiplo de dez.

02) n é o dobro de m.

04) m – n é divisível por nove.

08) m . n é divisível por cem.

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo funções e equações de 2º grau.

Para resolvermos as alternativas, temos que encontrar os valores de m e n. Sabemos que:

• m é o instante em que a bola retornará ao solo;
• n é a altura máxima atingida pela bola.

m no caso então será a segunda raíz (sabemos que uma raiz é zero, através da função).

n no caso é o yvértice.

Sendo assim, vamos calcular o m primeiro. Para calcularmos o m basta igualar a função a zero para encontrar as raízes:

\frac{-t^2}{2}+10t=0\\
\ \\
t(\frac{-t}{2}+10)=0

Como sabemos que uma raiz é zero, queremos saber a outra:

\frac{-t}{2}+10=0\\
\ \\
\frac{t}{2}=10\\
\ \\
t=20\\
\ \\
Logo:\\
\ \\
m=20

Agora vamos calcular n, sabemos que é o y vértice:

Y_v=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-(10^2-4*\frac{-1}{2}*0)}{4*\frac{1}{2}}=\frac{-(100)}{-2}=50\\
 \ \\
Logo:\\
 \ \\
n=50

Sendo assim, sabemos que:

• m = 20
• n = 50

Vamos para as alternativas:

01) m + n é um número múltiplo de dez.

20+50=70

70 é múltiplo de 10, pois 7*10=70. Sendo assim a 01 está correta.

02) n é o dobro de m.

\frac{70}{20}=\frac{7}{2}

70 não é o dobro de 20, é o mais que o dobro. Logo a 02 está incorreta.

04) m – n é divisível por nove.

20-50=-30\\
 \ \\
\frac{-30}{9}\ não\ divide

Como 30 não divide por 9, não é divisível. Logo, a 04 está incorreta.

08) m . n é divisível por cem.

20*50=1000\\
\ \\
\frac{1000}{100}=10

Logo, é divisível por 100. Sendo assim a 08 está correta.

Logo o gabarito é: 01+08=09.

GABARITO 32 UEPG 2021: 09.

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