170 ENEM 2020 PPL) Dois atletas partem de pontos, respectivamente P1 e P2 , em duas pistas planas distintas, conforme a figura, deslocando-se no sentido anti-horário até a linha de chegada, percorrendo, desta forma, a mesma distância (L). Os trechos retos dos finais das curvas até a linha de chegada desse percurso têm o mesmo comprimento (l) nas duas pistas e são tangentes aos trechos curvos, que são semicírculos de centro C. O raio do semicírculo maior é R1 e o raio do semicírculo menor é R2 .

Sabe-se que o comprimento de um arco circular é dado pelo produto do seu raio pelo ângulo, medido em radiano, subentendido pelo arco. Nas condições apresentadas, a razão da medida do ângulo P2CP1 pela diferença L− I é dada por
a) R2 – R1
b) 1/R1 – 1/R2
c) 1/R2 – 1/R1
d) 1 / (R2 – R1)
e) 1/R1 + 1/R2
Confira abaixo a resolução completa:
Solução comentada:
O exercício quer saber ” a razão da medida do ângulo P2CP1 pela diferença L− I é dada por“.
Se liga na dica: temos claramente um exercício que envolve geometria e circunferências. Nesse exercício vamos precisar enxergar basicamente nossas grandezas para assim podermos fazer o cálculo da razão dos valores.
Segundo o enunciado:
- Os atletas parte do ponto P1 e P2 respectivamente;
- Deslocam-se no sentido anti-horário;
- Percorrem a mesma distância L;
- Os trechos retos tem a mesma distância l;
- O raio do círculo maior é R1 e do menor é R2;
- O comprimento de um arco circular é dado pelo produto do raio pelo seu ângulo medido em radiano;
Feito isso, podemos colocar essas informações todas no desenho. No caso também denominamos como d1 o arco do atleta 1 e o d2 o arco do atleta 2, além disso definimos os ângulos g e o para o respectivo desenho como podemos ver abaixo.

Nota-se que o ângulo P2CP1 é justamente o ângulo o.
Sabemos que a distância total percorrida pelo atleta 1 será:
Sabemos que a distância total percorrida pelo atleta 2 será:
Como as distâncias L são iguais e l também, podemos afirmar que:
Sabemos que as distâncias dos arcos são dadas pelos produtos do ângulo pelo raio, podemos definir então que:
- d1 será o produto do ângulo g com o raio 1;
- d2 será o produto da soma dos ângulos o e g com o raio 2.
Sendo assim:
Podemos com essa última equação então definir quem é o ângul o, para assim calcular a razão. Portanto vamos isolá-lo:
Sabendo então quem é o basta saber quem é L-l. Como sabemos que L é igual a soma das distâncias de arco com a distância l, podemos afirmar que:
Portanto, sabemos que L-l é igual a d1, sendo assim podemos calcular a razão:
Mas sabemos que d1 é o produto entre o ângulo g e R1, logo:
Simplificando agora temos que:
Logo a alternativa que me trás esta expressão é justamente a alternativa c.
Gabarito 170 ENEM 2020 PPL: C
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