8 UNICENTRO 2021 ) A prefeitura de uma determinada cidade decidiu aproveitar garrafas PET para montar uma árvore de natal bem grande, bonita e de baixo custo, num formato triangular, cuja base terá 1024 garrafas e no topo apenas uma. O número de garrafas, por fileira, decresce da base para o topo conforme uma progressão geométrica de razão 1/2.
Com base nessas informações e desconsiderando quaisquer outros adereços, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o número de garrafas PET necessário para a construção desta árvore de natal.
a) 1024
b) 1983
c) 1984
d) 2047
e) 2048
Confira abaixo a resolução completa:
Solução comentada:
Temos claramente um exercício envolvendo progressão geométrica.
O comando deste exercício é: Com base nessas informações e desconsiderando quaisquer outros adereços, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o número de garrafas PET necessário para a construção desta árvore de natal.
Logo, em outras palavras, o exercício quer saber a soma dos n termos da PG.
Sabemos que a soma de n termos de uma PG é dada por:
Sn=q−1a1∗(qn−1)
Segundo o enunciado temos algumas informações para calcular a soma total:
progressão geométrica de razão 1/2, logo q=1/2;
base terá 1024 garrafas e no topo apenas uma, sendo assim a1=1024 e an=1.
Então, para calcularmos a soma basta encontrar o número de termos n.
Para isso podemos utilizar a equação geral de uma PG:
an=a1∗qn−11=1024∗(21)n−110241=(21)n−1
Sabemos que 210=1024, e que todo expoente em base 1 é igual a 1, logo:
