35 UEPG 2020 – 35 UEPG 2020) Seja (a1, a2, a3, … ) uma progressão geométrica

35 UEPG 2020:

35 UEPG 2020) Seja (a1, a2, a3, … ) uma progressão geométrica de sete termos, com a1 = 3 e razão q =1/3. Considerando que S = log3 (a1) + log3 (a2)+. . . +log3 (a7) e que m = −S/7 e n = a4^(−1), assinale o que for correto.

01) A função h(x) = mx + n é decrescente.

02) A função f(x) = |x – n| é crescente para x 9.

04) A parábola que representa a função g(x) = mx² + x tem vértice no ponto (-1/4, -1/8)

08) m + n é um número primo.

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo progressão geométrica e funções.

Como todas as alternativas necessitam do valor de m e/ou do valor de n, vamos primeiramente precisar descobrir quem são esses valores.

Sabemos que:

m=-S/7. Onde S é o valor apresentado pela expressão do logaritmo em função da PG.

n=a4^(-1). Logo para encontrar n vamos precisar encontrar o 4 termo da nossa PG e invertê-lo elevando a -1.

Sendo assim, primeiramente vamos calcular os 7 primeiros termos da PG.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA:

Sabemos que a PG é dada por:

a_n=a_1*q^{n-1}\\ 
\ \\

Sabendo que a1=3 e q=1/3, calculamos os 7 primeiros termos:

a_1=3\\
\ \\
a_2=3*(\frac{1}{3})^{2-1}=1\\
\ \\
a_3=3*(\frac{1}{3})^{3-1}=\frac{1}{3}\\
\ \\
a_4=3*(\frac{1}{3})^{4-1}=\frac{1}{3^2}\\
\ \\
a_5=3*(\frac{1}{3})^{5-1}=\frac{1}{3^3}\\
\ \\
a_6=3*(\frac{1}{3})^{6-1}=\frac{1}{3^4}\\
\ \\
a_7=3*(\frac{1}{3})^{7-1}=\frac{1}{3^5}\\
\ \\

Sendo assim, substituindo em S para encontrar o valor de S:

S=Log_3(a_1)+Log_3(a_2)+Log_3(a_3)+Log_3(a_4)+Log_3(a_5)+Log_3(a_6)+Log_3(a_7)\\
\ \\
S=Log_3(3)+Log_3(1)+Log_3(\frac{1}{3})+Log_3(\frac{1}{3^2})+Log_3(\frac{1}{3^3})+Log_3(\frac{1}{3^4})+Log_3(\frac{1}{3^5})\\
\ \\

Aplicando propriedade de logaritmo vamos ter:

S=1+0-1-2-3-4-5=-14

Sendo assim, como S vale -14, podemos calcular m:

m=\frac{-S}{7}=\frac{-(-14)}{7}=2

Logo, m é igual a 2.

Como sabemos a4, podemos calcular n:

n=a_4^{-1}=(\frac{1}{9})^{-1}=9

Logo. n é igual a 9.

Sabendo quem é m e n podemos ir para as sentenças.

01) A função h(x) = mx + n é decrescente.

Como m é o coeficiente angulas da função h(x), e sabemos que m é positivo, a função será crescente. Logo a 01 está incorreta.

02) A função f(x) = |x – n| é crescente para x > 9.

Podemos escrever f(x) como sendo:

f(x)=|x-9|.

Logo, como sabemos que a função em 9 zera, a para valores maiores que 9 ela será crescente. Por exemplo:

f(10)=|10-9|=1

f(11)=|11-9|=2

E assim por diante.

Logo a 02 está correta.

04) A parábola que representa a função g(x) = mx² + x tem vértice no ponto (-1/4, -1/8)

A função será:

g(x)=2x²+x

Podemos calcular então o xvértice:

x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-1}{2*2}=\frac{-1}{4}

Logo o xvértice está correto.

Vamos calcular então o yvértice:

y_v=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-1^2-4*2*0}{4*2}=\frac{-1}{8}

Logo o yvértice também está correto.

Sendo assim a 04 está correta.

08) m + n é um número primo.

m+n=2+9=11

Como 11 é um número primo a 08 está correta.

Logo o gabarito é: 2+4+8=14.

GABARITO 35 UEPG 2020: 14.

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