35 UEPG 2020:
35 UEPG 2020) Seja (a1, a2, a3, … ) uma progressão geométrica de sete termos, com a1 = 3 e razão q =1/3. Considerando que S = log3 (a1) + log3 (a2)+. . . +log3 (a7) e que m = −S/7 e n = a4^(−1), assinale o que for correto.
01) A função h(x) = mx + n é decrescente.
02) A função f(x) = |x – n| é crescente para x 9.
04) A parábola que representa a função g(x) = mx² + x tem vértice no ponto (-1/4, -1/8)
08) m + n é um número primo.
Solução comentada:
Temos claramente um exercício envolvendo progressão geométrica e funções.
Como todas as alternativas necessitam do valor de m e/ou do valor de n, vamos primeiramente precisar descobrir quem são esses valores.
Sabemos que:
m=-S/7. Onde S é o valor apresentado pela expressão do logaritmo em função da PG.
n=a4^(-1). Logo para encontrar n vamos precisar encontrar o 4 termo da nossa PG e invertê-lo elevando a -1.
Sendo assim, primeiramente vamos calcular os 7 primeiros termos da PG.
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA:
Sabemos que a PG é dada por:
Sabendo que a1=3 e q=1/3, calculamos os 7 primeiros termos:
Sendo assim, substituindo em S para encontrar o valor de S:
Aplicando propriedade de logaritmo vamos ter:
Sendo assim, como S vale -14, podemos calcular m:
Logo, m é igual a 2.
Como sabemos a4, podemos calcular n:
Logo. n é igual a 9.
Sabendo quem é m e n podemos ir para as sentenças.
01) A função h(x) = mx + n é decrescente.
Como m é o coeficiente angulas da função h(x), e sabemos que m é positivo, a função será crescente. Logo a 01 está incorreta.
02) A função f(x) = |x – n| é crescente para x > 9.
Podemos escrever f(x) como sendo:
f(x)=|x-9|.
Logo, como sabemos que a função em 9 zera, a para valores maiores que 9 ela será crescente. Por exemplo:
f(10)=|10-9|=1
f(11)=|11-9|=2
E assim por diante.
Logo a 02 está correta.
04) A parábola que representa a função g(x) = mx² + x tem vértice no ponto (-1/4, -1/8)
A função será:
g(x)=2x²+x
Podemos calcular então o xvértice:
Logo o xvértice está correto.
Vamos calcular então o yvértice:
Logo o yvértice também está correto.
Sendo assim a 04 está correta.
08) m + n é um número primo.
m+n=2+9=11
Como 11 é um número primo a 08 está correta.
Logo o gabarito é: 2+4+8=14.
GABARITO 35 UEPG 2020: 14.
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