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31 UEPG 2018 INVERNO – Sabendo que um losango e um quadrado

- by ensinodepotencia

31 UEPG 2018 INVERNO:

31 UEPG 2018 INVERNO) Sabendo que um losango e um quadrado têm o mesmo perímetro, e que d e D representam, respectivamente, as medidas das diagonais menor e maior do losango. Considerando ainda que d/D=4/9 e que D – d = 30, assinale o que for correto.

01) A área do quadrado é maior que a área do losango.

02) A diagonal maior do losango mede 54.

04) A área do losango mede 1296.

08) A razão entre a área do quadrado e a área do losango é de 97/72.

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo geometria plana, áreas e razão.

Antes de resolvermos as sentenças, vamos primeiramente desenhar as duas figuras.

Como as sentenças tratam das áreas das figuras e também dos valores das diagonais, vamos primeiramente encontrar esses valores para então resolver as alternativas.

Para encontrar as diagonais temos duas equações dadas no enunciado:

  • d/D=4/9 e que D – d = 30

Com a primeira podemos isolar d:

dD=49 d=4D9\frac{d}{D}=\frac{4}{9}\\ \ \\ d=\frac{4D}{9}\\

Sendo assim, podemos substituir na segunda equação para encontrar o valor de D:

D−d=30 D−4D9=30 5D9=30 D=30∗95 D=54D-d=30\\ \ \\ D-\frac{4D}{9}=30\\ \ \\ \frac{5D}{9}=30\\ \ \\ D=\frac{30*9}{5}\\ \ \\ D=54

Podemos definir d:

d=4D9=4∗549 d=24d=\frac{4D}{9}=\frac{4*54}{9}\\ \ \\ d=24

Com os valores de d e D podemos calcular a área do losango:

AL=d∗D2=24∗542 AL=648A_L=\frac{d*D}{2}=\frac{24*54}{2}\\ \ \\ A_L=648

Com os valores dos lados do losango, podemos definir o valor do lado do quadrado, pois segundo o enunciado temos que:

  • losango e um quadrado tem o mesmo perímetro.

Logo, isso quer dizer que:

4L=4h L=h4L=4h\\ \ \\ L=h

Se o lado do quadrado é igual ao lado do losango, que vale h, podemos encontrar o valor de h através de pitágoras, que será o valor de h.

Vale destacar que a área do quadrado é dada por:

AQ=L2=h2A_Q=L^2=h^2

Para achar o lado do losango temos que:

Sendo assim por pitágoras:

h2=(D2)2+(d2)2h^2=(\frac{D}{2})^2+(\frac{d}{2})^2

Se observamos h² é a área do quadrado, logo:

AQ=(D2)2+(d2)2 AQ=(542)2+(242)2 AQ=272+122 AQ=729+144 AQ=873A_Q=(\frac{D}{2})^2+(\frac{d}{2})^2\\ \ \\ A_Q=(\frac{54}{2})^2+(\frac{24}{2})^2\\ \ \\ A_Q=27^2+12^2\\ \ \\ A_Q=729+144\\ \ \\ A_Q=873

Sendo assim temos os seguintes dados:

D=54 d=24 AL=648 AQ=873D=54\\ \ \\ d=24\\ \ \\ A_L=648\\ \ \\ A_Q=873

Vamos para as sentenças.

01) A área do quadrado é maior que a área do losango.

Temos que a área do quadrado vale 873 e a área do losango vale 648. Logo:

AQ > AL.

Sendo assim a 01 está correta.

02) A diagonal maior do losango mede 54.

Verdadeiro, D=54.

Sendo assim a 02 está correta.

04) A área do losango mede 1296.

Falso, AL=648.

Sendo assim a 04 está incorreta.

08) A razão entre a área do quadrado e a área do losango é de 97/72.

Vamos calcular:

AQAL=873648=9772\frac{A_Q}{A_L}=\frac{873}{648}=\frac{97}{72}

Sendo assim a 08 está correta.

Logo o gabarito é: 01+02+08=11.

GABARITO 31 UEPG 2018 INVERNO: 11.

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