152 ENEM 2021) Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações Δ e estrela *, definidas sobre o conjunto dos números reais por xΔy = x² + xy – y² e x * y = xy + x.
O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação
(aΔb)*(bΔa) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.
Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.
Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será
a) √5
b) √3
c) √1
d) -1 + √5
2
e) 3 + √5
2
Confira abaixo a resolução completa:
Solução comentada:
Temos claramente um exercício que envolve equações de segundo grau.
O comando deste exercício é “ o valor recebido pelo navio receptor será “.
Logo, queremos saber qual será o valor recebido pelo navio.
O valor que ele irá receber é dado pela: soma das duas maiores soluções da equação
(aΔb)*(bΔa) = 0 .
Ainda segundo o enunciado b=1, uma vez que: Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.
Logo, vamos ter que aplicar as propriedades dadas:
xΔy = x² + xy – y² e x * y = xy + x .
Aplicando as propriedades para a equação onde buscamos a solução.
Aplicando primeiro a propriedade de triângulo, dada a equação:
(a^2+ab-b^2)*(b^2-ab-a^2)=0\\ \ \\ como\ b=1:\\ \ \\ (a^2+a-1)*(1-a-a^2)=0\\
Com essas duas equações, temos que aplicar a propriedade da estrela, mas antes disso podemos abrir ela da seguinte forma:
x*y=xy+x\\ \ \\ x*y=x(y+1)
Logo, podemos igualar o primeiro termo a zero, e o segundo termo somado a 1 igual a zero também, sendo assim:
Primeiro termo igual a zero:
a^2+a-1=0\\
\ \\
Por\ bhaskara:\\
\ \\
a=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4*1*(-1)}}{2*1}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\\
\ \\
Sendo\ assim\ as\ soluções\ são:\\
\ \\
a'=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
a''=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}Destas duas soluções, a maior delas é a solução a’.
Agora, solucionando a segunda parte:
1-a-a^2+1=0\\
\ \\
a^2+a-2=0\\
\ \\
Por\ bhaskara:\\
\ \\
a=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4*1*(-2)}}{2*1}=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}\\
\ \\
Sendo\ assim\ as\ soluções\ são:\\
\ \\
a'=1\\
\ \\
a''=-2
A maior solução desta parte é 1.
Logo, somando as duas maiores soluções:
1+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
\frac{2-1+\sqrt{5}}{2}\\
\ \\
\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\Sendo assim, a alternativa correta é a letra D.
GABARITO 152 ENEM 2021: D.
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