136 ENEM 2021) Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega ϕ, e seu valor é dado pela solução positiva da equação ϕ² = ϕ + 1.
Assim como a potência ϕ², as potências superiores de w podem ser expressas da forma aϕ + b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.
A potência ϕ⁷, escrita na forma aϕ + b (a e b são inteiros positivos), é
a) 5ϕ + 3b) 7ϕ + 2c) 9ϕ + 6d) 11ϕ + 7e) 13ϕ + 8
Confira abaixo a resolução completa:
Solução comentada:
Temos claramente um exercício envolvendo sequências numéricas.
Para solucionar este exercício precisamos identificar qual será a próxima sequência, considerando que o exercício nos dá as devidas representações para ϕ², ϕ³ e assim por diante.
A primeira forma de pensar é analisando que os coeficientes a e b se somados podem dar o valor do expoente de ϕ, podemos analisar então:
ϕ^2 \rightarrow a=1,\ b=1\ \rightarrow 1+1=2 \ (ok)\\ \ \\ ϕ^3 \rightarrow a=2,\ b=1\ \rightarrow 2+1=3 \ (ok)\\ \ \\ ϕ^4 \rightarrow a=3,\ b=2\ \rightarrow 3+2=5 \ (errado)\\ \ \\
Como a partir do ϕ^4 a soma já é diferente do expoente, então podemos descartar essa possibilidade.
Uma outra possibilidade é que a soma é o coeficiente a da sequência seguinte, observamos então:
ϕ^2 \rightarrow a=1,\ b=1\ \rightarrow 1+1=2 \ (ok\ com\ a\ do\ ϕ^3)\\ \ \\ ϕ^3 \rightarrow a=2,\ b=1\ \rightarrow 2+1=3 \ (ok\ com\ a\ do\ ϕ^4)\\ \ \\ ϕ^4 \rightarrow a=3,\ b=2\ \rightarrow 3+2=5 \ (ok\ com\ a\ do\ ϕ^5)\\ \ \\ ϕ^5 \rightarrow a=5,\ b=3\ \rightarrow 5+3=8 \ (ok\ com\ a\ do\ ϕ^6)\\ \ \\ ...
Sendo assim, podemos concluir que a ordem da sequência é justamente essa.
Logo, para identificar os coeficientes do próximo que é justamente o objetivo do exercício basta somarmos os coeficientes a e b do ϕ^6
ϕ^6 \rightarrow a=8,\ b=5\ \rightarrow 8+5=13
Logo o coeficiente a do ϕ^7 será igual a 13, sendo assim:
ϕ^7 = 13ϕ + b
Como a única alternativa que tem 13ϕ é a alternativa e, esta é a alternativa correta.
GABARITO 136 ENEM 2021: E.
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