11 UNICENTRO 2020 – ) Enquanto a sequência crescente (2, x, y,…)

11 UNICENTRO 2020 :

11 UNICENTRO 2020) Enquanto a sequência crescente (2, x, y,…) forma, nesta ordem, uma progressão aritmética, a sequência (1/2 , 1/x, 1/(8 + y), …), forma, nesta ordem, uma progressão geométrica decrescente. A razão da progressão geométrica é

A) 4/5

B) 3/4

C) 3/5

D) 1/2

E) 1/3

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo progressão geométrica e álgebra.

O comando deste exercício é: A razão da progressão geométrica é.

Logo, queremos saber a razão da PG.

Uma forma de resolver esta questão de uma maneira mais fácil é utilizando de média aritmética e média geométrica. Desta forma conseguimos definir os valores de x e y para então definir a razão da PG.

MÉDIA ARITMÉTICA:

Dado a progressão aritmética (2, x, y,…).

Através de média aritmética, podemos dizer que x será igual a média entre 2 e y:

\frac{2+y}{2}=x\\
\ \\
2+y=2x\\
\ \\
y=2x-2

MÉDIA GEOMÉTRICA:

Dado a progressão geométrica (1/2 , 1/x, 1/(8 + y), …).

O elemento 1/x ao quadrado será igual a média geométrica de 1/2 e 1/(8+y), sendo assim:

(\frac{1}{x})^2=\frac{1}{2}*\frac{1}{8+y}\\
\ \\
2(8+y)=x^2\\
\ \\
16+2y=x^2\\
\ \\
Substituindo:\\
 \ \\
16+2(2x-2)=x^2\\
\ \\
16+4x-4=x^2\\
\ \\
0=x^2-4x-12\\
\ \\

Podemos encontrar x por Bhaskara:

x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4*1*(-12)}}{2*1}\\
\ \\
x=\frac{4\pm\sqrt{64}}{2}\\
\ \\
x=\frac{4\pm8}{2}\\
\ \\
x'=6\\
 \ \\
x''=-2\\
 \ \\

Sendo assim temos dois valores possíveis de x para a nossa PG. Vamos substituir na PG para encontrar os elementos da PG e depois encontrar o valor da razão:

(\frac{1}{2},\frac{1}{x},\frac{1}{8+y}, ...)\\
\ \\

Pegando os dois primeiros elementos já conseguimos calcular a razão. Portanto nossas possibilidades são, substituindo os dois valores de x:

(\frac{1}{2},\frac{1}{6})\ ou\ (\frac{1}{2},\frac{1}{-2})

Logo, já podemos identificar que a correta é a primeira, para x=6. Uma vez que a PG é decrescente segundo o enunciado. E a segunda será uma PG ALTERNÁVEL, onde ficará apenas mudando de positiva para negativa.

Sendo assim, para calcular a razão temos que:

a_n=a_1*q^{n-1}\\
\ \\
\frac{1}{6}=\frac{1}{2}*q^{2-1}\\
\ \\
\frac{1}{6}*\frac{2}{1}=q\\
\ \\\
\frac{1}{3}=q\\

Sendo assim a alternativa correta é a letra E.

GABARITO 11 UNICENTRO 2020 : E.

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