10 UNICENTRO 2020 :
B) 5x − 7y − 2 = 0
D) 5x − 7y − 1 = 0
E) 5x + 7y = 0
Solução comentada:
Temos claramente um exercício envolvendo equações de primeiro e segundo grau.
O comando do exercício é: Com base nessas informações, pode-se afirmar que uma equação da reta que passa pelo centro de C e é perpendicular à reta r é.
Logo queremos:
- Uma reta que passe pelo centro de C.
- Seja perpendicular a r.
Começando com a perpendicularidade.
Para ser perpendicular o coeficiente angular da reta nova deverá respeitar a seguinte regra:
\alpha_n=-\frac{1}{\alpha_r }Sabemos que o coeficiente angular de r é dado por:
7x − 5y + 9 = 0\\
\ \\
5y=7x+9\\
\ \\
y=\frac{7}{5}x+\frac{9}{5}\\
\ \\
\alpha_r =\frac{7}{5}Logo, o outro coeficiente será:
\alpha_n=-\frac{1}{\alpha_r }\\
\ \\
\alpha_n=-\frac{5}{7}Colocando isso em uma equação hipotética para encontrarmos o valor em x e y colocando todos em um mesmo lado da igualdade:
y=-\frac{5}{7}x+b\\
\ \\
5x+7y-7b=0Logo sabemos que nas alternativas x deverá ser multiplicado por 5 positivo e y por 7 positivo.
Logo as únicas alternativas possíveis são A, C e E.
Agora vamos encontrar o centro para saber qual passa pelo centro:
x^2 +6x+ y^2 − 4y =45\\ \ \\ (x+3)^2-(y-2)^2-4=45
Logo o centro será (-3, 2).
Vamos substituir nas possíveis respostas, começando com A:
5x + 7y + 1 = 0 \\ \ \\ 5*(-3)+7*2+1=0\\ \ \\ -15+14=1=0\\ \ \\ 0=0
Como a resposta foi zero a alternativa A é a correta, pois ela respeita as duas condições.
GABARITO 10 UNICENTRO 2020 : A.
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