6 UNICENTRO 2020 – Sabendo-se que, na equação

6 UNICENTRO 2020 :

6 UNICENTRO 2020) Sabendo-se que, na equação 3^x = 10(3^y) − 9(3^z), os expoentes reais x, y e z formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão, não nula, r, é correto afirmar que o valor de r é

A) −4

B) −2

C) 0,5

D) 1,0

E) 2,0

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício envolvendo equações exponenciais e equação de 2º grau.

O comando deste exercício é: é correto afirmar que o valor de r é.

Logo, queremos saber o valor de r, para isso segundo o enunciado temos:

• x, y e z formam uma progressão aritmética de razão não nula, ou seja, r é diferente de zero.

Então temos que, segundo uma progressão aritmética:

a_n=a_1+(n-1)r\\
\ \\
a_1=x\\
\ \\
a_2=y=x+(2-1)r=x+r\\
\ \\
a_3=z=x+(3-1)r=x+2r\\
\ \\

Utilizando assim agora a nossa equação exponencial:

3^x=10(3^y)-9(3^z)\\
\ \\
Substituindo\ os\ valores\ de\ y\ e\ z:\\
\ \\
3^x=10(3^{x+r})-9(3^{x+2r})\\
\ \\
Por\ propriedade\ de\ potenciação:\\
\ \\
3^x=10(3^x*3^r)-9(3^x*3^{2r})\\
\ \\
Dividindo\ todos\ por\ 3^x:\\
\ \\
1=10*3^r-9*3^{2r}\\
\ \\
Substituindo: 3^r=u\\
\ \\
1=10u-9u²\\
\ \\
9u²-10u+1=0\\

Aplicando bháskara para encontrar os valores de u e depois de r:

u=\frac{10\pm\sqrt{10^2-4*9*1}}{2*9}=\frac{10\pm8}{18}\\
\ \\
u'=1\\
\ \\
u''=\frac{1}{9}

Sendo assim, sabemos que u não pode ser 1, pois para isso r deveria ser zero. Uma vez que todo número elevado a 0 é igual a 1. Como sabemos que a razão da PA é não nula. Portanto, basta encontrarmos o valor de r agora:

\frac{1}{9}=3^r\\
\ \\
3^{-2}=3^r\\
\ \\
Logo:\\
\ \\
-2=r

Sendo assim a resposta é a alternativa B.

GABARITO 6 UNICENTRO 2020 : B.

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