142 Enem 2021 – O organizador de uma competição de lançamento de

142 ENEM 2021)  O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo.  Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo.  O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, 1/2 de probabilidade de acertar um dardo no alvo.

A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a 9/10.  Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.

Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é

a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 9.
e) 10.

Confira abaixo a resolução completa:

Solução comentada:

Temos claramente um exercício de probabilidade.

Neste exercício o comando é “a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é“.

Logo, queremos encontrar uma quantidade de dardos para tornar o jogo mais atrativo. Para tornar o jogo mais atrativo a probabilidade de ele pontuar na rodada deve ser superior a 9/10.

Logo, sabemos que a probabilidade de ele pontuar em um lançamento é de 1/2.

Desta forma, a probabilidade de ele pontuar em n lançamentos será:

P_n=(\frac{1}{2})^n

Desta forma este valor precisa ser superior a 9/10.

Porém, se fizermos a conta com 9/10 teremos muita dificuldade, logo podemos pensar no complemento.

Se a probabilidade de ele pontuar deve ser superior a 9/10, logo a probabilidade de ele não pontuar deve ser inferior a 1/10.

Sendo assim:

(\frac{1}{2})^n<\frac{1}{10}\\
\ \\
\frac{1^n}{2^n}<\frac{1}{10}

Como 1 elevado a qualquer número é 1, temos que:

\frac{1}{2^n}<\frac{1}{10}\\
\ \\
10<2^n\\
\ \\

Como 10 tem que ser menor que 2 elevado a n, sabemos que quando n é igual a 3 não será suficiente, pois 2³ é 8. Logo n deve ser igual a 4 pelo menos para que a sentença seja verdadeira.

Logo, n=4.

Sendo assim a resposta correta é a alternativa b) 4.

GABARITO 142 ENEM 2021: B.

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