170 ENEM 2020) Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”.
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por
a) 9!
b) 4!5!
c) 2×4!5!
d) 9!/2
e) (4!5!)/2
Confira abaixo a resolução completa:
Solução comentada:
O exercício quer saber “o número de anagramas formados é dado por“.
Se liga na dica: para calcular o número de anagramas com a frase “I AM POTTER”, sendo que vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas.
Para isso podemos analisar que temos:
- 4 Vogais: I, A, O e E
- 5 Consoantes: M, P, T, T e R
Para formar um anagrama intercalando vogais e consoantes podemos fazer da seguinte forma:
\ \underline{C}\ \ \underline{V}\ \underline{C}\ \ \underline{V}\ \underline{C}\ \ \underline{V}\ \underline{C}\ \underline{V}\ \underline{C}Para sabermos as quantidades de variações de vogais nessas 4 posições podemos fazer uma permutação. Como não temos repetição de vogais a nossa permutação não terá repetição. Logo:
P_4=4!
Esse é o valor de possibilidades nas posições das vogais.
Para as consoantes fazemos a mesma coisa, poremos temos repetição do elemento “T”. Portanto será uma permutação com repetição:
P_{5}^2=\frac{5!}{2!}Esse é o número de possibilidades diferentes das variações das consoantes.
Para as possibilidades totais basta multiplicar um pelo outro, logo:
4*\frac{5!}{2!}=\frac{4!*5!}{2!}=No caso então a resposta é a alternativa E.
Gabarito 170 ENEM 2020: E
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