23 UFSC 2020)
01. Se as matrizes
são iguais, então m.n = 5/3.
02. A matriz
admite inversa.
04.
08. O sistema
é indeterminado para 𝑚 = 2 𝑒 𝑝 = −1.
16. Se 𝐴 e 𝐵 são matrizes quadradas de mesma ordem, então (𝐴 ∙ 𝐵)^𝑡 = 𝐴^𝑡 ∙ 𝐵^𝑡.
32. Se 𝑥1 e 𝑥2 são raízes da equação 𝑥² + 2𝑥 + 10 = 0, então |𝑥1| + |𝑥2| = 2√10.
Confira abaixo a resolução completa:
VIDEO
Solução comentada:
01. Se as matrizes
são iguais, então m.n = 5/3.
Como o exercício diz que as matrizes são iguais, para encontrarmos m e n, para no final calcularmos o seu produto, basicamente vamos igualar o elemento a11 da primeira matriz com o elemento a11 da segunda matriz, assim como o elemento a22 da primeira matriz com o elemento a22 da segunda matriz.
Fazemos isso pois esses são os dois elementos que possuem os termos a e m.
Sendo assim:
{ 3 m + 2 n = 7 3 m − 2 n = l o g ( 1 1000 ) \begin{cases}
3m+2n=7\\
3m-2n=log(\frac{1}{1000})
\end{cases}\\
{ 3 m + 2 n = 7 3 m − 2 n = l o g ( 1000 1 ) Antes de solucionar o sistema de equação, vamos primeiro encontrar qual o valor do logaritmo através de propriedade de logaritmo, sabendo que o log quando não tem a base especificada é log na base 10:
l o g ( 1 1000 ) = l o g ( 1 0 − 3 ) = − 3 ∗ l o g ( 10 ) = − 3 log(\frac{1}{1000})=log(10^{-3)}=-3*log(10)=-3 l o g ( 1000 1 ) = l o g ( 1 0 − 3 ) = − 3 ∗ l o g ( 10 ) = − 3 Sendo assim:
{ 3 m + 2 n = 7 3 m − 2 n = − 3 S o m a n d o a s d u a s e q u a ç o ~ e s : 3 m + 2 n + 3 m − 2 n = 7 − 3 6 m = 4 m = 2 3 e n c o n t r a n d o n c o m q u a l q u e r u m a d a s d u a s e q u a ç o ~ e s : 3 ∗ 2 3 + 2 n = 7 2 n = 7 − 2 n = 5 2 \begin{cases}
3m+2n=7\\
3m-2n=-3
\end{cases}\\
Somando\ as\ duas\ equações:\\
\ \\
3m+2n+3m-2n=7-3\\
\ \\
6m=4\\
\ \\
m=\frac{2}{3}\\
\ \\
encontrando\ n\ com\ qualquer\ uma\ das\ duas\ equações:\\
\ \\
3*\frac{2}{3}+2n=7\\
\ \\
2n=7-2\\
\ \\
n=\frac{5}{2}
{ 3 m + 2 n = 7 3 m − 2 n = − 3 S o man d o a s d u a s e q u a ç o ~ es : 3 m + 2 n + 3 m − 2 n = 7 − 3 6 m = 4 m = 3 2 e n co n t r an d o n co m q u a lq u er u ma d a s d u a s e q u a ç o ~ es : 3 ∗ 3 2 + 2 n = 7 2 n = 7 − 2 n = 2 5 Sabendo quem são os dois, agora basta calcular o produto:
m ∗ n = 2 3 ∗ 5 2 = 5 3 m*n=\frac{2}{3}*\frac{5}{2}=\frac{5}{3} m ∗ n = 3 2 ∗ 2 5 = 3 5 Sendo assim, como realmente é 5/3 a 01 está correta.
02. A MATRIZ
admite inversa.
Para sabermos se uma matriz admite inversa basta calcularmos o determinante dela, sendo assim:
( − 2 ) ∗ ( − 4 ) ∗ ( 2 3 ) + ( 1 2 ) ∗ ( 1 ) ∗ ( 27 ) + ( − 3 2 ) ∗ ( 5 ) ∗ ( − 3 ) − [ ( 27 ) ∗ ( − 4 ) ∗ ( − 3 2 ) + ( − 3 ) ∗ ( 1 ) ∗ ( − 2 ) + ( 2 3 ) ∗ ( 5 ) ∗ ( 1 2 ) ] s i m p l i f i c a n d o o p o s s ı ˊ v e l : 16 3 + 27 2 + 15 3 2 − [ 6 27 + 2 3 + 5 3 ] (-2)*(-4)*(2\sqrt{3})+(\frac{1}{2})*(1)*(\sqrt{27})+(\frac{-3}{2})*(5)*(-\sqrt{3})-[(\sqrt{27})*(-4)*(\frac{-3}{2})\\+(-\sqrt{3})*(1)*(-2)+(2\sqrt{3})*(5)*(\frac{1}{2})]\\
\ \\
simplificando\ o\ possível:\\
\ \\
16\sqrt{3}+\frac{\sqrt{27}}{2}+\frac{15\sqrt{3}}{2}-[6\sqrt{27}+2\sqrt{3}+5\sqrt{3}] ( − 2 ) ∗ ( − 4 ) ∗ ( 2 3 ) + ( 2 1 ) ∗ ( 1 ) ∗ ( 27 ) + ( 2 − 3 ) ∗ ( 5 ) ∗ ( − 3 ) − [( 27 ) ∗ ( − 4 ) ∗ ( 2 − 3 ) + ( − 3 ) ∗ ( 1 ) ∗ ( − 2 ) + ( 2 3 ) ∗ ( 5 ) ∗ ( 2 1 )] s im pl i f i c an d o o p oss ı ˊ v e l : 16 3 + 2 27 + 2 15 3 − [ 6 27 + 2 3 + 5 3 ] Fatorando √27 temos que:
27 = 3 2 ∗ 3 = 3 3 \sqrt{27}=\sqrt{3^2*3}=3\sqrt{3} 27 = 3 2 ∗ 3 = 3 3 Sendo assim, substituindo:
16 3 + 27 2 + 15 3 2 − [ 6 27 + 2 3 + 5 3 ] 16 3 + 3 3 2 + 15 3 2 − [ 6 ∗ 3 3 + 2 3 + 5 3 ] 16 3 + 3 3 2 + 15 3 2 − [ 18 3 + 2 3 + 5 3 ] s o m a n d o e s u b t r a i n d o : 25 3 − 25 3 = 0 16\sqrt{3}+\frac{\sqrt{27}}{2}+\frac{15\sqrt{3}}{2}-[6\sqrt{27}+2\sqrt{3}+5\sqrt{3}]\\
\ \\
16\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{15\sqrt{3}}{2}-[6*3\sqrt{3}+2\sqrt{3}+5\sqrt{3}]\\
\ \\
16\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{15\sqrt{3}}{2}-[18\sqrt{3}+2\sqrt{3}+5\sqrt{3}]\\
\ \\
somando\ e\ subtraindo:\\
\ \\
25\sqrt{3}-25\sqrt{3}=0 16 3 + 2 27 + 2 15 3 − [ 6 27 + 2 3 + 5 3 ] 16 3 + 2 3 3 + 2 15 3 − [ 6 ∗ 3 3 + 2 3 + 5 3 ] 16 3 + 2 3 3 + 2 15 3 − [ 18 3 + 2 3 + 5 3 ] so man d o e s u b t r ain d o : 25 3 − 25 3 = 0 Como o determinante é zero temos que sim, admite inversa, logo a 02 está correta.
04.
Como queremos saber quem é B^t – A + I, primeira coisa que vamos precisar calcular é quem é a matriz B, depois a matriz B^t e por fim fazer a conta final.
Para calcular a matriz B temos o sistema dos elementos dado no enunciado, o sistema significa que:
se i ≥ j, ou seja, diagonal principal e abaixo da diagonal principal, nós vamos somar os valores da linha e da coluna (ex: a11= 1+1=2); Acima da diagonal principal a conta será 2i-j (ex: a12=2*1-2=0) Sendo assim, definimos como matriz B:
B = ∣ 2 0 − 1 3 4 1 4 5 6 ∣ B=\left| \begin{array}{rcr}
2 & 0 & -1 \\
3 & 4& 1\\
4 & 5 & 6
\end{array} \right| B = ∣ ∣ 2 3 4 0 4 5 − 1 1 6 ∣ ∣ Sabendo quem é a matriz B, agora vamos encontrar a transposta, invertendo linha com coluna:
B t = ∣ 2 3 4 0 4 5 − 1 1 6 ∣ B^t=\left| \begin{array}{rcr}
2 & 3 & 4 \\
0 & 4& 5\\
-1 & 1 & 6
\end{array} \right| B t = ∣ ∣ 2 0 − 1 3 4 1 4 5 6 ∣ ∣ Sabendo quem é a matriz B transposta, agora podemos fazer a soma do exercício:
B t − A + I = ∣ 2 3 4 0 4 5 − 1 1 6 ∣ + ∣ 1 2 4 3 0 − 1 6 4 − 1 ∣ + ∣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∣ S o m a n d o e l e m e n t o a e l e m e n t o t e m o s q u e : B t − A + I = ∣ 2 1 0 − 3 5 6 − 7 − 3 8 ∣ B^t-A+I=\left| \begin{array}{rcr}
2 & 3 & 4 \\
0 & 4& 5\\
-1 & 1 & 6
\end{array} \right|+\left| \begin{array}{rcr}
1 & 2 & 4 \\
3 & 0& -1\\
6 & 4 & -1
\end{array} \right|+\left| \begin{array}{rcr}
1 & 0 & 0\\
0 & 1& 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right|\\
\ \\
Somando\ elemento\ a\ elemento\ temos\ que:\\
\ \\
B^t-A+I=\left| \begin{array}{rcr}
2 & 1 & 0 \\
-3 & 5& 6\\
-7 & -3 & 8
\end{array} \right| B t − A + I = ∣ ∣ 2 0 − 1 3 4 1 4 5 6 ∣ ∣ + ∣ ∣ 1 3 6 2 0 4 4 − 1 − 1 ∣ ∣ + ∣ ∣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∣ ∣ S o man d o e l e m e n t o a e l e m e n t o t e m os q u e : B t − A + I = ∣ ∣ 2 − 3 − 7 1 5 − 3 0 6 8 ∣ ∣ Logo, como o resultado bate, a 04 está correta.
08. O sistema
é indeterminado para 𝑚 = 2 𝑒 𝑝 = −1.
O exercício quer saber se o sistema é indeterminado, para isso ele nos da um valor de p e um valor de m.
Para identificar se um sistema de equação tem solução nós montamos a matriz dos coeficientes e calculamos o determinante deste matriz.
O p é um termo independente, logo ele é irrelevante nesta conta.
Sendo assim, montando a matriz já substituindo que m=2:
∣ 1 − 2 2 1 − 1 − 1 − 1 2 − 2 ∣ c a l c u l a n d o o d e t e r m i n a n t e : 2 − 2 + 4 − ( 2 − 2 + 4 ) = 0 \left| \begin{array}{rcr}
1 & -2 & 2 \\
1 & -1& -1\\
-1 & 2 & -2
\end{array} \right|\\
\ \\
calculando\ o\ determinante:\\
\ \\
2-2+4-(2-2+4)=0 ∣ ∣ 1 1 − 1 − 2 − 1 2 2 − 1 − 2 ∣ ∣ c a l c u l an d o o d e t er minan t e : 2 − 2 + 4 − ( 2 − 2 + 4 ) = 0 Sendo assim como o determinante é igual a zero, este sistema não possui solução. Sendo assim a 08 está incorreta.
16. Se 𝐴 e 𝐵 são matrizes quadradas de mesma ordem, então (𝐴 ∙ 𝐵)^𝑡 = 𝐴^𝑡 ∙ 𝐵^𝑡.
A sentença 16 está incorreta. Pois a propriedade correta é:
( A . B ) t = B t . A t (A.B)^t=B^t.A^t ( A . B ) t = B t . A t Portanto, é uma multiplicação em ordem diferente.
32. Se 𝑥1 e 𝑥2 são raízes da equação 𝑥² + 2𝑥 + 10 = 0, então |𝑥1| + |𝑥2| = 2√10.
Logo, precisamos calcular as raízes dessa equação. Podemos fazer isso por bhaskara, logo:
x = − 2 ± 2 2 − 4 ∗ 1 ∗ 10 2 = − 2 ± 4 − 40 2 = − 2 ± − 36 2 x = − 2 ± 6 i 2 x 1 = − 1 + 3 i x 2 = − 1 − 3 i x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4*1*10}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{4-40}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-36}}{2}\\
\ \\
x=\frac{-2\pm6i}{2}\\
\ \\
x1=-1+3i\\
\ \\
x2=-1-3i x = 2 − 2 ± 2 2 − 4 ∗ 1 ∗ 10 = 2 − 2 ± 4 − 40 = 2 − 2 ± − 36 x = 2 − 2 ± 6 i x 1 = − 1 + 3 i x 2 = − 1 − 3 i Somando o módulo de ambos:
∣ − 1 + 3 i ∣ + ∣ − 1 − 3 i ∣ = − 2 |-1+3i|+|-1-3i|=-2 ∣ − 1 + 3 i ∣ + ∣ − 1 − 3 i ∣ = − 2 Logo o resultado é -2, portanto a sentença 32 está incorreta.
GABARITO 22 UFSC 2020: 13. Confira a resolução de todos os exercícios do Enem.
Confira aqui mais resoluções no site.
Quer tirar mais de 700 em Matemática no Enem?
Conheça o e-book onde você vai aprender todas as estratégias e macetes para conseguir resolver os exercícios de matemática do Enem de uma forma:
Muito mais organizada; Mais rápida; Economizando contas; Analisando os exercícios. Adquira já o seu aqui.
